গল্পে গল্পে প্যারাডক্স: সমাধান যখন বিভ্রান্তি

প্যারাডক্স (Paradox) নামক এই কঠিন শব্দটির বাংলা অর্থ হলো ‘কুটাভাস’। বাপরে! কি অদ্ভুত নাম!! জীবনেও শুনা হয় নি, তাই না?! তবে এই জটিল নামের মতই কিন্তু প্যারাডক্সের চালচলন। জট পাকানো, প্যাঁচানোই প্যারাডক্সের কাজ। চলুন প্রথমেই জেনে নেওয়া যাক আসলে কি এটা?

★প্যারাডক্স পরিচিতি

‘প্যারাডক্স’ হল অসংগতির সমষ্টি। প্রথমে দেখে হয়তোবা আপনার মনে হতে পারে এতে কোনো সমস্যাই নেই। কিন্তু একটু ভেবে দেখলেই মস্তিষ্কে বাদানুবাদ শুরু হয়ে যাবে। এমন একটা পর্যায় আসে যখন লজিক্যালি মেনে নেওয়া কঠিন বা মানাই যায় না। নিজেই নিজের সাথে সংঘর্ষ করে প্যারাডক্স। অনেকে এটাকে ধাঁধা হিসেবে মনে করলেও ধাঁধা কিন্তু ঠিক বলা যায় না একে!

আচ্ছা একটা প্রশ্ন করি। হ্যাঁ বা না তে উত্তর দেবেন। “আপনি নেক্সট যে শব্দটা উচ্চারণ করবেন সেটা কি ‘না’?” এখন ভাবুন যদি বলেন ‘হ্যাঁ’, তাহলে আমার প্রশ্নের উত্তর পজিটিভ দিলেন। সুতরাং প্রশ্নানুযায়ী আপনার বলার ইচ্ছা ‘না’, কিন্তু বলে ফেলেছেন ‘হ্যাঁ’!! আচ্ছা ঝামেলা এড়াতে বললেন ‘না’। তাহলে শব্দটা ঠিকই ‘না’ বলা হল কিন্তু আমার প্রশ্নের উত্তর হল নেগেটিভ, এড়িয়ে গেলেন! অর্থাৎ আপনার না বলার ইচ্ছা নেই তাও বলে ফেলেছেন। কি?? হ্যাঁ-ই বলেন আর না-ই বলেন, কিছুতেই আপনি ঠিকভাবে উত্তর দিতে পারছেন না। ঠাণ্ডা মাথায় ভেবে দেখুন মস্তিষ্ক কেমন ঘুরপাক খায় !

প্যারাডক্স যেমন এক-দু লাইনের হয়, তেমন বড় বড়ও হয়। ম্যাথ, ফিজিক্স, বায়োলজি, মেডিসিন এমনকি অর্থনীতিতেও প্যারাডক্স আছে। কয়েকটা এক লাইনের প্যারাডক্স হতে পারে, যেমন-

১. সাঁতার না শেখা পর্যন্ত পানির কাছে যেও না!

২. তোমার চ্যালেঞ্জ হল চ্যালেঞ্জ গ্রহণ না করা!

৩. আমি জানি যে আমি কিছুই জানি না (সক্রেটিসের প্যারাডক্স)।

ভেবে দেখুন, মাথাটা ঘুরান। আপনি নিজেও এভাবে প্যারাডক্স বানাতে পারবেন।

অনেক বিখ্যাত প্যারাডক্স আছে, বিভিন্ন নামে তাদের ডাকা হয়। প্যারাডক্স নানা রকম হতে পারে। যেমনঃ

১) Verdical Paradox-যার রেজাল্টটা আজব কিন্তু আসলে ঘটনা সত্যি। “স্রোডিঞ্জারের বিড়াল“ এর একটা উদাহরণ।

২) Antinomy-সঠিকভাবে প্রয়োগ করা নিয়ম দিয়ে ব্যাখ্যা করলেও সাংঘর্ষিক রেজাল্ট আসে। “Grelling-Nelson Paradox” একটি Antinomy।

৩) Dialetheia-যা একই সাথে সত্য এবং মিথ্যা। রহিম যখন দরজার ভেতর এক পা দিয়ে আছে তখন যদি বলি রহিম রুমের ভেতরে আছে, সেটা হবে Dialetheia।

৪) Falsidical Paradox-যেটা দেখতেও ভুল, আসলেও ভুল। “জেনোর প্যারাডক্স” এমনই একটি প্যারাডক্স। আর আজ এই জেনোর প্যারাডক্স নিয়েই বিস্তারিত ব্যাখ্যা করব…

★জেনোর প্যারাডক্স

আচ্ছা একটু নান্দনিক ভাবেই বিষয়টা ব্যাখ্যা করা যাক…

গ্রিক পুরাণের বীর অ্যাকিলিস ঢাল-তরবারি ছেড়ে খেলার ময়দানে যোগ দিয়েছেন। অনেক তো হলো যুদ্ধ-বিগ্রহ! এবার সবকিছু ছেড়ে শান্তির পথের পথিক হবেন তিনি। আর তার এই নতুন জীবনের শুরুটা স্মরণীয় করে রাখতে এক দৌড় প্রতিযোগিতার আয়োজন করা হয়েছে।

সুঠাম দেহের অধিকারী অ্যাকিলিসকে দৌড়ে হারানো সহজ হবে না, এজন্য প্রয়োজন শক্ত প্রতিপক্ষ। কিন্তু সবাইকে অবাক করে দিয়ে অ্যাকিলিসের বিরুদ্ধে দৌড় প্রতিযোগিতায় লড়তে হাজির হলো প্রাণীজগতের অন্যতম ধীরগতিসম্পন্ন প্রাণী কচ্ছপ!!! সবাই কচ্ছপের সাহস দেখে হাসতে থাকলো। অনেকে ফিসফিস করতে থাকলো, “বোকা খরগোশের সাথে পেরেছে বলে অ্যাকিলিসের সাথে পারবে! এটা কচ্ছপ ভাবলো কী করে?” কচ্ছপ কারো কথা কানেই তুললো না… সে বীরের ভঙ্গিতে কোমর বেঁধে নেমে পড়লো ময়দানে।

অ্যাকিলিস সহজ প্রতিপক্ষ পেয়ে যেন আরো উৎসাহী হয়ে উঠলেন। তিনি কচ্ছপকে তুচ্ছ মনে করে শুরুর দাগ থেকে আরো কয়েক মিটার পেছনে থেকে দৌড় শুরু করবেন বলে সিদ্ধান্ত নিলেন। বিচারক নিজেও কচ্ছপের প্রতি সামান্য সহানুভূতি প্রকাশ করে এই সিদ্ধান্ত মেনে নিলেন। কাঙ্ক্ষিত সেই দৌড় প্রতিযোগিতা শুরু হবে আর কিছুক্ষণের মধ্যে। এবার আপনারাই বলুন, কে জিতবে এই দৌড়??

অ্যাকিলিস নাকি কচ্ছপ?

স্বাভাবিকভাবেই আমরা বলতে পারি, এই প্রতিযোগিতার বিজয়ী হবে অ্যাকিলিস। কিন্তু কেউ যদি মনে করেন, এই প্রতিযোগিতার বিজয়ী হবে কচ্ছপ, তাহলে তাকে স্বাগতম জানাচ্ছি এক নতুন জগতে, যার নাম ‘জেনোর প্যারাডক্স’ জগৎ। এই জগতে অ্যাকিলিস যতই চেষ্টা করুক, তিনি কখনোই কচ্ছপকে হারাতে পারবেন না। বিচারক আকাশের দিকে বন্দুক তাক করে ফাঁকা গুলি ছুঁড়তেই অ্যাকিলিস দৌড় শুরু করলেন। কচ্ছপও গুটি গুটি পায়ে এগোনো শুরু করলো।

তো চলুন ধরে নেওয়া যাক, অ্যাকিলিস যখন দৌড় শুরু করলেন, তখন কচ্ছপের অবস্থান ছিল ‘x’। অ্যাকিলিস দৌড়ে ‘x’ অবস্থানে পৌঁছে গেলেন। কিন্তু ততক্ষণে কচ্ছপটি সামান্য এগিয়ে নতুন অবস্থান ‘y’ তে পৌঁছে গেছে। তাই অ্যাকিলিস আবার দৌড়ে ‘y’ পর্যন্ত পৌঁছে গেলেন। কিন্তু ততক্ষণে স্বাভাবিক নিয়মে কচ্ছপটা সামান্য এগিয়ে আরেক নতুন অবস্থান ‘z’-এ পৌঁছে যাবে।

চটে গেলেন অ্যাকিলিস। কিন্তু কিছু করার নেই। তাই তিনি পুনরায় ‘z’ পর্যন্ত দৌড়ে গেলেন। কিন্তু কী বিপদ! কচ্ছপটা যে তখন আরেক নতুন অবস্থানে এগিয়ে গেলো! এভাবে অ্যাকিলিস যতবারই চেষ্টা করছেন কচ্ছপের অবস্থানে পৌঁছে কচ্ছপকে ধরার, ততবারই কচ্ছপটি হাতছাড়া হয়ে যাচ্ছে। যেন পেছন থেকে দৌড় দেয়ার পুরো বুদ্ধিটাই সকল নষ্টের মূল। আর সবাই অবাক হয়ে দেখলো, অ্যাকিলিস কচ্ছপটিকে ধরতেই পারছেন না! তাই অ্যাকিলিস কচ্ছপের পেছনে পড়ে রইলেন।

এর পেছনের যুক্তিটা বোঝার জন্য ছোট্ট দুটো বিষয় সর্ম্পকে কিছুটা জানিয়ে রাখি। প্রথমটি হল কচ্ছপ ও অ্যাকিলিসের মধ্যবর্তী দুরত্ব, অপরটি পিথাগোরীয় মতবাদ। যদি দৌড়টি সরল রেখায় চিন্তা করি তাহলে বলা যায় অ্যাকিলিস যে মুহুর্তে কচ্ছপকে স্পর্শ করবে সেই মুহুর্তে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব শূন্য হবে। অর্থাৎ কচ্ছপকে স্পর্শ করতে হলে অবশ্যই তাদের মধ্যবর্তী দুরত্ব ০ হতে হবে। এবার পিথাগোরীয় মতবাদটা একটু জেনে নেয়া যাক- পিথাগোরীয় মতবাদে স্থানকে অগনিত বিন্দুর সমষ্টি আর সময়কে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ক্ষণের সমাহার হিসেবে বিবেচনা করা হয়। মোট কথা স্থান ও সময়কে অগণিত ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র ভাগে ভাগ করা যায়। ছোট একটা উদারহরণের সাহায্যে ব্যাপারটা পরিষ্কার করা যাক।

I——————————————T

মনে করি IT একটি সরল রেখা। পিথাগোরীয় মতবাদ অনুসারে IT হল অনেকগুলি বিন্দুর সমষ্টি। কিন্তু সমস্যাটা হল অনেকগুলি আসলে কত? তার উত্তর হলো অসীম সংখ্যক (যদিও অসীম কোনো সংখ্যা নয়। অসীম শুধুমাত্র একটি সুন্দর ধারণা)। 

এবার গণিতের মঞ্চে আমরা অ্যাকিলিসের দৌড় পর্যবেক্ষণ করি। ধরি, অ্যাকিলিস কচ্ছপের ১০ মিটার পেছন থেকে দৌড় শুরু করেছিলেন। আবার মনে করি, অ্যাকিলিসের গতিবেগ সেকেণ্ডে ১০ মিটার। কচ্ছপের গতিবেগ সেকেণ্ডে ১ মিটার। তারমানে কচ্ছপের গতি অ্যাকিলিসের গতির ১০ভাগের ১ভাগ বলা যায়। এবার ধরা যাক, দৌড় শুরু হবার এক সেকেণ্ড পরে অ্যাকিলিস পৌঁছে গেলেন কচ্ছপের অবস্থানে। আর কচ্ছপ তার গতিবেগ অনুযায়ী চলে গেলো আরো ১ মিটার সামনে।

এবার ধরা যাক, অ্যাকিলিস পুনরায় যখন ১ মিটার দৌড়ে গেলেন, তখন কচ্ছপটি একই সময়ে পৌঁছে যাবে আরো ০.১ মিটার। কারণ কচ্ছপের গতি অ্যাকিলিসের ১০ভাগের ১ভাগ।

আকিলিস যখন পুনরায় ০.১ মিটার অতিক্রম করবেন, তখনো কচ্ছপটি ০.০১ মিটার এগিয়ে থাকবে। অ্যাকিলিস যখন এরপরে ০.০১মিটার অতিক্রম করবেন, তখনো কচ্ছপটি ০.০০১মিটার এগিয়ে থাকবে। অ্যাকিলিস যখন এরপরে ০.০০১মিটার অতিক্রম করবেন, তখনো কচ্ছপটি ০.০০০১মিটার এগিয়ে থাকবে। অ্যাকিলিস যখন এরপরে ০.০০০১ মিটার অতিক্রম করবেন, তখনো কচ্ছপটি ০.০০০০১ মিটার এগিয়ে থাকবে!

বুঝতেই পারছেন এভাবে অসীম পর্যন্ত যাওয়া যাবে, এ সংখ্যার শেষ হবেনা। এভাবে অ্যাকিলিস যখন ‘n’ মিটার অতিক্রম করবেন তখন কচ্ছপ ঐ সময়েই n দূরত্বের সামনে n এর ১/১০মিটার দূরত্ব সর্বদাই অগ্রবর্তী থাকবে। তারমানে ঠিক উপরের প্যারাডক্সের মতো এভাবে কচ্ছপটি সর্বদা সামনে এগিয়ে থাকবে। কচ্ছপ ও অ্যাকিলিসকে দুইটি বিন্দুকণা ধরে নিলে কখনই অ্যাকিলিস কচ্ছপকে দৌড়ে অতিক্রম করতে পারবে না।

আগেই বলেছি কেউ কাউকে অতিক্রম করতে চাইলে অবশ্যই গতিপথের কোথাও তাদের মধ্যবর্তী দুরত্ব শূন্য হতে হবে। সুতরাং স্পষ্টতই অ্যাকিলিস কখনোই কচ্ছপকে অতিক্রম করতে পারবে না। যেহেতু যুক্তিতে কোনো ভুল নেই, সুতরাং অ্যাকিলিস কখনই কচ্ছপকে হারাতে পারবেনা। ব্যস! মিটে গেল। কিন্তু এখানে প্যারাডক্সের কি আছে?

এবার কল্পনা থেকে বেরিয়ে একটু বাস্তবে আসা যাক। কিছুটা পিছিয়ে থেকে দৌড় শুরু করা কোনো ব্যক্তি কি কখনোই সামনে থাকা কাউকে অতিক্রম করতে পারে না? অবশ্যই পারে, হরহামেশাই তা দেখা যায়। তাই কচ্ছপ আর অ্যাকিলিসের দৌড়ের সাথে বাস্তবের প্যারাডক্সটা আসলে এখানেই। আর এটাই সেই প্যারাডক্স যা কাঁপিয়ে দিয়েছিল তৎকালীন পিথাগোরীয় মতবাদের ভিত। জেনো এই প্যারাডক্সের জন্য আজও জগদ্বিখ্যাত হয়ে আছেন। পুরো ব্যাপারটি এখনই যেন মাথা ধরিয়ে দিচ্ছে! কারণ, গণিতের হিসাব অনুযায়ী, অ্যাকিলিস মাত্র ১.১১ সেকেণ্ডে কচ্ছপটিকে অতিক্রম করে সামনে এগিয়ে যাওয়ার কথা। তাহলে ঠিক কোন কারণে জেনোর প্যারাডক্সে বারবার পিছিয়ে যাচ্ছেন অ্যাকিলিস? আসল ফাঁকিটা কোথায়? 

জেনো একটি নতুন জগতের কল্পনায় বিভোর ছিলেন। এই অদ্ভুত জেনোর জগতে অবস্থান এবং সময়কে অসীম ভাগে বিভাজিত করা যায়। যেন পুরো দৌড়ের ময়দানকে জেনো তার কল্পনায় কোটি কোটি বার ভাগ করে ফেলেছেন। সেখানে বেচারা অ্যাকিলিস এক প্রাণান্তকর দৌড়ে বার বার পিছিয়ে পড়ছেন মন্থরগতির কচ্ছপ থেকে। জেনোর এই বিভাজনের কোনো শেষ নেই। এমনকি ময়দানের দূরত্বকে এরূপ অসীম ভাগে বিভাজিত করার ফলে জেনোর প্যারাডক্সে সময়ও ধীর হয়ে পড়েছে। যার ফলে অ্যাকিলিস কখনোই এগিয়ে যেতে পারছেন না। ঠিক এখানেই জেনোর ফাঁকি কাজ করছে। কারণ, আমরা জানি সময়কে এভাবে বিভাজিত করে ধীর করা সম্ভব নয়।

তাই জেনোর প্যারাডক্সের শক্তিশালী দুর্গের এই দুর্বলতা পুরো প্যারাডক্সের ভিতকে ভেঙে দিয়েছে। জেনোর জগতে সময়কে বিভাজিত করে ধীর করা হয়, তাই যদিও অ্যাকিলিসের কচ্ছপকে অতিক্রম করতে হলে একটি নির্দিষ্ট সময় প্রয়োজন ছিল, কিন্তু সময়কে অসীম ভাগে বিভক্ত করার ফলে তিনি কখনোই সেই নির্দিষ্ট সময় পর্যন্ত দৌড়াতে পারবেন না। পারলেও গাণিতিক প্যাঁচে পড়ে হেরেই যাবেন। এই অদ্ভুত ধারণার ফলেই জেনোর প্যারাডক্সে আমাদের মনে হয়েছিলো কচ্ছপটিকে ধরা একদম অসম্ভব! কিন্তু জেনোর যুক্তি ভুল ছিল। কারণ, একটি নির্দিষ্ট সময়কে অসীম ভাগে বিভক্ত করার পরেও এর যোগফল সেই সময়ের সমানই হবে, যা প্যারাডক্সে আপাতদৃষ্টিতে অসীম মনে হয়।

অর্থাৎ, ১ + ১/২ + ১/৪ + ১/৮ + ১/১৬ + ১/৩২+ ১/৬৪…..n = ২ (একসময় না একসময় মান ২ হবেই যদি তা অসীম সময়ও হয়) কিন্তু অসীমের মারপ্যাঁচে ফেলে অসীম পর্যন্ত কচ্ছপকে যুক্তির প্যাঁচে অগ্রবর্তী রেখে অ্যাকিলিসকে হারিয়ে দেওয়া হয়েছে, আর এটাই সেই বিখ্যাত জেনোর প্যারাডক্স।

সোর্স- উইকিপিডিয়া, বিজ্ঞানপত্রিকা.কম